很简单的一道题

预定31号题！非数竞赛一道题，第一次做没想到（+1）

题目

设区间$\big(0,+\infty)$上的函数$u(x)$定义为：$u(x)=\int^{+\infty}_{0}{e^{-xt^{2}}{dt}}$，则$u(x)$的初等函数表达式为$?$

分析

这道题的核心就是二重积分，直接求导(利用原函数存在定理)和求积分显然是不可取的。

我们可以人为的再建立一个$u(x)=\int^{+\infty}_{0}{e^{-xm^2}{dm}}$,这种形式是可以存在的，下来就简单了…

解题

通过运算使得$u^2(x)=\iint_{s}{e^{-x\big(t^2+m^2)}dtdm}$ , 其中$t\in \big(0,+\infty)$ $m\in \big(0,+\infty)$

因为被积函数中有平方和，因此利用极坐标解该二重积分：

$\begin{cases}t=rcos{\theta}\\m=rsin{\theta}\end{cases}$

$u^2(x)=\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}d\theta\int^{+\infty}_{0}re^{-xr^2}dr=\frac{\pi}{2x}\int^{+\infty}_{0}{e^{-xr^2}}d\big(xr^2)={\frac{\pi}{2x}}{\int^{+\infty}_{0}e^{-p}dp}$

$p=xr^{2}$

解得$u^{2}(x)=-\frac{\pi}{2x}$

则$u(x)=\sqrt{-\frac{\pi}{2x}}$

完毕！