降阶公式与矩阵秩的性质

降阶公式

$$\begin{vmatrix}{\lambda}{E_{m}-AB}\end{vmatrix}={\lambda}^{m-n}\begin{vmatrix}{\lambda}{E_{n}}{-BA}\end{vmatrix}$$

其中$E_{m}{}$ 、 $E_{n}$分别为$m阶、n阶$单位阵

矩阵秩的性质

1. $0{\le}{R(A)}{\le}{min}${$m,n$}

2. $\begin{cases}0,k=0 \\ {R(A)},k{\not=0}
   \end{cases}$​

3. $R(A_1){\le}{R(A)}$ 其中，$A_1是A的子矩阵$

4. $R(A^T)=R(A)$ 其中，$A^T是A的转置$

5. $A{\rightarrow}^{初等变换}{\rightarrow}B{\Rightarrow}{R(A)=R(B)}$

6. $R\begin{pmatrix}A&0 \\ 0&B\end{pmatrix}$记$R(A)=r_1{\quad} R(B)=r_2$

   = $r_1+r_2$

7. $R(A,B)\le{R(A)+R(B)}$

8. $R(A+B)\le{R(A)+R(B)}$

9. $R(AB)\le{min\{ R\big(A),R\big(B)\}}$

10. $\cal重点:$

    设$A\in{F^{m\times{n}}},B\in{F^{m\times{n}}}$

    $R(A)+R(B)-n\le{R\big(AB)}\le{min\{R(A),R(B)\}}$

    特别地，若$AB=0$,则

    $R(A)+R(B)\le{n}$